Toán học có thể được dùng để mô hình hóa nhiều quá trình vật lý. Ngay cả đối với trường hợp đơn giản là cộng số tự nhiên, có nhiều các giải thích khả dĩ và thậm chí nhiều biểu hiện trực quan.

Tập hợp

Có thể giải thích cơ bản nhất về phép cộng nằm trong các tập hợp:

• Khi hai hay nhiều tập hợp rời rạc được kết hợp lại thành một tập hợp, cố lượng đối tượng trong tập hợp được tạo ra là tổng số lượng đối trong các tập hợp gốc.

Giải thích này dễ hình dung, ít có nguy cơ mơ hồ. Nó cũng hữu ích với các cấp độ toán học cao hơn. Xem số tự nhiên bên dưới để xem định nghĩa nghiêm ngặt được nó truyền cảm hứng. Tuy nhiên, không rõ người ta làm thế nào để mở rộng định nghĩa này để bao gồm số phân số và số âm.

Một cách khắc phục khả dĩ là có thể xem các đối tượng trong tập hợp có thể phân chia, chẳng hạn thành các miếng hoặc, tốt hơn, là các thanh ngắn đồng đều. Thay vì kết hợp tập hợp các miếng, các thanh ngắn có thể được nối từ đầu đến cuối, điều này minh họa cho một quan niệm khác về phép cộng: cộng không phải là thanh mà là độ dài của thanh.

Một cách giải thích khác là kéo dài độ dài ban đầu theo một hướng nhất định:

• Khi chiều dài ban đầu được kéo dài thêm một lượng nhất định, độ dài cuối cùng là tổng chiều dài bao đầu cộng với chiều dài của phần mở rộng.

Tổng a + b có thể được hiểu là một phép toán nhị phân kết hợp a và b, theo nghĩa đại số, hoặc nó thể thể được hiểu là việc thêm b đơn vị vào a. Theo cách hiểu sau, các phần của tổng a + b đóng vai trò bất đối xứng và phép toán a + b được xem là áp dụng phép toán đơn nguyên cho +b vào a. Thay vì gọi cả hai là phép cộng a và b, sẽ phù hợp hơn khi gọi b là phần thêm vào, vì đóng vai trò thụ động.